Este viernes 22 de diciembre se celebra el sorteo extraordinario de Navidad en el Teatro Real de Madrid, un evento que anuncia la llegada de la temporada festiva, trasciende las fronteras del azar y despierta una gran ilusión en la sociedad española.

Y es que todo vale para llamar a la suerte en el sorteo de la Lotería de Navidad. Desde pasar el décimo por la tripa de una embarazada, hasta pedir al lotero que coja el boleto con la mano derecha para que no se contamine de la mala suerte o llevar encima una ramita de perejil. Multitud de costumbres en busca de un objetivo: ‘El Gordo’.

Más concretamente, el primer premio de la Lotería de Navidad 2023 es de 4 millones de euros a la serie, lo que equivale a 400.000 por décimo o 20.000 por cada euro jugado. El segundo premio es de 1.250.000 euros por serie (125.000 por décimo o 6.250 por euro jugado), y el tercero, de 500.000 euros por serie (50.000 por décimo o 2.500 por euro jugado).

Sobre todo esto, y mucho más, hemos hablado con José Antonio Prado Bassas, profesor titular de universidad en el departamento de análisis matemático de la Universidad de Sevilla.

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PREGUNTA. Desde una perspectiva matemática, ¿de qué manera describirías la probabilidad de ganar un premio en el sorteo de la Lotería de Navidad?

RESPUESTA. La estadística es la parte de las matemáticas (hoy en día es una ciencia por sí misma) que trata de estudiar las leyes del azar. Una de las formas más simples de entender la probabilidad es lo que se conoce como Regla de Laplace (en honor al matemático/estadístico francés Pierre Simon Laplace). Esta regla nos dice que, para calcular la probabilidad de un suceso, hay que hacer una división: en el denominador ponemos la cantidad de casos posibles que puedan darse, mientras que en el numerador pondremos los casos que son favorables a nuestro suceso.

Si nuestro suceso es ganar a la Lotería de Navidad, los casos posibles son los 100.000 números que entran en el bombo, mientras que los casos favorables será la cantidad de números distintos que cada uno juegue. Si solo compramos un número, nuestra probabilidad será de 1 entre 100.000, es decir, del 0,00001%.

Para que nos hagamos una idea, vamos a hacer un experimento. Un libro de unas 350 páginas puede contener, aproximadamente, unas 100.000 palabras escritas. A dos personas diferentes le damos un ejemplar del libro y le decimos que subraye una palabra al azar. La probabilidad de que ambas personas elijan exactamente la misma palabra (en la misma página, misma línea y posición) es idéntica a la de que te toque el Gordo de la Lotería de Navidad: una entre cien mil.

Ahora bien, si nuestro suceso es ganar algún premio, la cosa varía un poco. Los casos posibles siguen siendo 100.000, pero los favorables serán todos los números que tienen algún premio. Incluyendo los reintegros (con los que, en realidad, no hay ganancia de dinero, solo te devuelven “lo metido”) en total hay 15.304 posibles premios. Eso nos da una probabilidad de 15.304 entre 100.000, es decir, un 15,3% aproximadamente. Ojo, en realidad sería menos, porque estamos teniendo en cuenta los premios grandes (Gordo, segundo, terceros, cuartos, quintos), las pedreas y las terminaciones (anterior y posterior al gordo, segundo y tercero, centenas del gordo, segundo y tercero…) y con estas últimas, igual un mismo número consigue varios premios a la vez (en la pedrea, por ejemplo, puede salir el anterior al Gordo, o un número de la misma centena que el segundo).

Para que nos hagamos una idea. Imaginemos que para los cuartos de final de la Copa del Rey se han clasificado Sevilla y Betis (junto con otros 6 equipos); la probabilidad de que haya un gran derbi Sevillano en cuartos sería de 1 entre 7, es decir, un 14,9% que, aproximadamente, es la misma de que te toque algo a la Lotería de Navidad.

Si excluimos los reintegros de la cuenta, estaríamos calculando la probabilidad de ganar algo de dinero. Ahora, habría que quitar los 9999 reintegros de los casos favorables, lo que nos daría una probabilidad de 5.305 entre 100.000, es decir, un 5,3%. Si se eligiese el campeón de LaLiga EA Sports al azar entre los 20 equipos de Primera División, la probabilidad de que ganara el Cádiz (o cualquier otro equipo) sería del 5%.

Esta cuenta es para un número nada más. ¿Y si jugamos 5 números diferentes y queremos calcular la probabilidad de que te toque algo en alguno de ellos? Vamos a calcular la probabilidad contraria, es decir, la de que no te toque nada en ninguno de ellos.

Como juegas 5 números, la probabilidad de que en el primero de ellos no te toque nada es de 84,7% (lo que le falta a 15,3% para llegar al 100%), o expresado en forma de número decimal, sería una probabilidad de 0,847. Esto con el primero, pero lo mismo con el segundo, el tercero y así hasta el quinto. Luego la probabilidad de que no te toque nada en ninguno de los 5 números será 0,847×0,847×0,847×0,847×0,847=0,436, o lo que es lo mismo, un 43,6%. Eso significa que la probabilidad de que te toque algo en alguno de los 5 números diferentes que juegas es del 56,4%.

Pero claro… ¿Cuánto te has gastado en esos 5 números? La mayoría de los premios, 15.285 en total (todos menos 19: Gordo, Primero, Segundo, Tercero y sus anteriores y posteriores, los Cuartos y los Quintos), son de 5€ por euro apostado o reintegros, por lo que si has jugado a 5 números diferentes tienes un 56,3% de posibilidades de ganar, como mucho, 5€ por euro apostado en cada número. Si haces las cuentas, obtendrás que tienes una probabilidad de un 0,1% de que, jugando a 5 números distintos, ganes un premio superior a 5€ por euro apostado (entre 48€ y 20.000€ por euro apostado). Esta es una probabilidad de 1 entre 1.000, o lo que es lo mismo, la misma probabilidad de encontrar el garbanzo negro del paquete de medio quilo. Un garbanzo pesa, más o menos, medio gramo. Eso significa que en un paquete de medio quilo habrá unos 1000 garbanzos. Si en el paquete hay un garbanzo negro, la probabilidad de encontrarlo al echar todos los garbanzos en una olla y sacar uno al azar es justamente la misma de antes, 1 entre 1000.

¿Cómo describiría la probabilidad de ganar el Gordo? Casi nula. ¿Y la de ganar algún premio? Baja. ¿Y la de ganar algo de dinero? Muy baja. ¿Y la de ganar mucho dinero? Casi nula.

P. Lo cierto es que hay diferentes números y combinaciones en los boletos de la Lotería, ¿hay alguna estrategia matemática que se pueda aplicar para aumentar las posibilidades de ganar, o es completamente aleatorio?

R. Con lo que he dicho antes de la Regla de Laplace (casos favorables entre casos posibles), la única forma de aumentar nuestras posibilidades de ganar es jugando a cuantos más números diferentes mejor. Pero claro, eso implica gastarse más dinero, cosa que no todo el mundo puede permitirse.

Si compras 98.117 números diferentes, estarás totalmente seguro de que, como poco, te va a tocar una pedrea o el anterior o posterior de los tres primeros premios. Imaginemos que juegas 1€ a cada uno de esos números, eso significa que necesitarías 98.117€; imaginemos que tienes la suerte de que te tocan todos los premios. Entonces habrás ganado la friolera de 70.000€, luego (sin contar lo que se lleva Hacienda) habrás perdido del orden de 28.000€. Vamos, que hay una estrategia, pero no compensa.

P. En términos de números y estadísticas, ¿hay algún patrón interesante o curioso que hayas observado en los resultados pasados del sorteo de la Lotería de Navidad?

R. El sorteo de Lotería es puro azar. No hay patrones ni nada que se le parezca. Y si observamos algo curioso, será pura casualidad.

Por ejemplo, en 2012, dio la casualidad de que dos quintos premios salieron de forma consecutiva en las extracciones (Sorteo Extraordinario de Navidad: las matemáticas no han fallado, Naukas). Esta probabilidad, aunque baja, es del 8,3%. Eso significa, tal y como se cuenta allí, que hay un 0,2% de posibilidades de que este hecho no ocurra en los 201 sorteos que se habían celebrado hasta el año 2012.

Y es que, en muchos casos, si miramos un único sorteo las cosas pueden parecernos extrañas, pero mirando a la larga, es más normal que ocurra. Para pensar un poco en algo parecido, ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos caras seguidas si lanzamos una moneda dos veces? ¿Y si la lanzamos 20 veces? ¿A que nos parece ya más fácil que salgan dos caras seguidas? Pues con la lotería pasa algo parecido, pero en lugar de cara o cruz, hay 100.000 números en juego.

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P. ¿Puede explicar la matemática por qué algunas combinaciones de números son más populares entre los jugadores que otras?

R. No, ni las matemáticas ni la estadística lo pueden explicar. Aquí entra en juego la psicología.

Por ejemplo, hay estudios de los años 70 del siglo XX que afirman que tenemos un sesgo que se llama Ilusión de Control, por el cual nos creemos capaces de controlar situaciones que, como el azar, escapan totalmente a nuestro control. Factores como que algo nos sea más o menos familiar nos hacen creer que es más probable que algo ocurra; quizás por ello muchas personas buscan números relacionados con fechas de nacimientos o de acontecimientos o que les trae algún recuerdo positivo.

Pero en el fondo no son más que supersticiones personales (que no hacen mal a nadie, por supuesto).

También es cierto que solemos interpretar mal el azar y la probabilidad. Un ejemplo fácil de hacer en una reunión con varios amigos. Les pedimos que algunos de ellos lancen 10 veces una moneda y anoten en un papel lo que sale, mientras que otros se inventarán los resultados. Nosotros no sabremos quién ha lanzado y quién ha inventado, pero viendo lo que han escrito nos resultará muy fácil averiguarlo. Los que se lo imaginan, raras veces pondrán más de 3 veces seguidas cara o cruz, y casi seguro que nunca pondrán 4 caras o cruces seguidas. Sin embargo, al lanzar una moneda 10 veces, es prácticamente seguro que saldrán o 3 caras o 3 cruces seguidas (un 98,2% de probabilidad) y prácticamente la mitad de las veces (un 49,7%) veremos o 4 caras o 4 cruces seguidas. Así que, si vemos que en una secuencia no hay 3 caras ni 3 cruces seguidas, casi seguro que esa es inventada, y ver 4 caras o cruces seguidas será indicio casi seguro de que es real.

Por último, eso que hablan de los números bonitos o feos es algo que, en el fondo, beneficia a Hacienda (que, en el fondo, es quien vende la Lotería). Y le beneficia porque muchos de los números que la gente tacha de feos no se venden y eso equivale a que es Hacienda la que los juega. Si sale el Gordo en un número feo que no se ha vendido, eso que Hacienda se ahorra de pagar.

P. ¿Jugar con el mismo número incrementa las probabilidades de ganar ‘El Gordo’?

R. Rotundamente no. ¿Cómo qué no? Pues no.

Cada sorteo es independiente del anterior. Eso significa que no guarde recuerdos de lo que ya ha pasado. Así que el hecho de que el año pasado el Gordo fuese el 05.490, no significa que este año no pueda volver a pasar. Los bombos de la Lotería no tienen memoria.

¿De dónde puede venir esta idea de que, si jugamos siempre al mismo número, tarde o temprano nos tocará? Pues de lo que se llama Ley de los Grandes Números. Esta ley nos dice que si repetimos un experimento muchas (pero muchas veces) la frecuencia con la que se produce un resultado será la probabilidad.

Pensemos en lanzar un dado y que jugamos siempre a que sale el 6. En cada tirada tendremos una probabilidad de 1 entre 6 (un 16,7%) de acertar. Da igual que sea la primera tirada que la trigésimo sexta. La Ley de los Grades Números lo que nos dice es que a medida que lanzamos muchas veces el dado, lo normal o lo esperado es que la sexta parte de las veces (más o menos) haya salido el 6. O sea, que si lanzamos 36 veces un dado, esperamos que alrededor de 6 veces salga el 6. Pero… ¿Qué es alrededor de 6? ¿4? ¿5? ¿6? ¿7? ¿2?... Nada impide que haya salido 2 veces el 6, o 20 veces o ¡¡ninguna!! Esta Ley dice que cuantas más veces lancemos el dado, más fácil es que salga la sexta parte de las veces; pero no asegura nada.

Si lanzamos 6000 veces el dado, esperamos que alrededor de 1000 haya salido un 6 y claro, en alrededor de 1000 no parece que entre el 0. Pero para llegar a esta conclusión hemos tenido que repetir muchas (pero muchas muchas) veces el lanzamiento. Extrapolado a la Lotería de Navidad, como se celebra 1 vez al año, si jugáramos 100.000 años esperaríamos que alrededor de 1 vez salga nuestro número fetiche. Pero 0 sí entra en alrededor de 1. SI jugáramos 10.000.000 de años seguidos al mismo número, esperaríamos que alrededor de 100 veces salga el nuestro como ganador, y ahora sí que alrededor de 100 parece algo factible. Lo que no es factible es vivir 10.000.000 años. Dato curioso; los dinosaurios se extinguieron hace 66 millones de años, así que si hubiésemos empezado a jugar en ese momento, esperaríamos que nuestro número haya salido alrededor de 6.600 veces.

Si pensamos en la Lotería Nacional (la de 1 vez por semana), pongamos (para redondear) que hay 50 sorteos al año. Eso significa que si jugáramos 2.000 años seguidos todas y cada una de las semanas (serían 100.000 sorteos), esperaríamos que alrededor de 1 vez haya salido nuestro número. Con 20.000 años jugando (desde la prehistoria, más o menos) esperaríamos que alrededor de 10 veces nos toque la lotería.

Vamos, que si siempre nos falta tiempo para todo, para hacer una estrategia así, no nos daría la vida (ni la nuestra ni la de todos nuestros antepasados).

Y para más inri, esta estrategia (si es que se le puede llamar así) sería idéntica si en lugar de jugar siempre al mismo número, elegimos una secuencia de números cualquiera y la vamos repitiendo constantemente. Por ejemplo, jugar 99.999 años al mismo número es idéntico que jugar el primer año al número 1, el segundo año al número 2 y así sucesivamente, el 99.999º año al número 99.999. O la secuencia de números que nos dé la gana (repetidos o no).

P. Por último, ¿existe alguna relación matemática entre la cantidad de boletos vendidos y la probabilidad de que al menos uno de ellos resulte ganador en el Sorteo de Navidad?

R. Sí. La Regla de Laplace de la que ya hemos hablado, vuelve a nuestra ayuda. Cuantos más boletos hayamos vendidos, más casos favorables tendremos y más alta será la probabilidad de que toque en nuestro local.

Por eso administraciones como la famosa La Bruja de Oro siempre sale con algún premio año tras año, porque vende muchísimos números diferentes tanto presencialmente como por internet.

Sigue toda la información de la Lotería de Navidad 2023

Este año en el Diario AS nos hemos propuesto darte toda la información sobre la Lotería de Navidad: